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Brilliant - Área de infinitos cuadrados

¿Puedes medir infinitas áreas?

¿Qué fracción del área mayor será el área en rojo?

Hoy recibí por email este problema de Brilliant.

¿Cual crees que es la respuesta? ¿1/5?, ¿1/4?, ¿1/3?, ¿1/2?, ¿1?

Método 1
  • Para resolverlo recordé un método que aprendí cuando postulaba a la universidad.
  • Si el área total es 1, el área en rojo es R: $$ R = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4}\Bigr) + \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4}\Bigr)\Big(\frac{1}{4}\Bigr) + … $$ $$ \implies 4R = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4}\Bigr) + … $$ $$ \implies 4R = 1 + R $$ $$ \implies R = \frac{1}{3} $$
Método 2

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  • Podemos ver que en la L invertida del cuadrado más grande, el area en rojo es 1/3 de esa L invertida
  • Lo mismo es el cuadrado siguiente. El área en rojo es 1/3 de la L invertida de ese cuadrado.
  • Y así, sucesivamente, en cada siguiente cuadrado el área en rojo es 1/3 de la L invertida de ese cuadrado.
  • Si el área total es 1, el área en rojo es R: $$ R = \frac{1}{3}L_1 + \frac{1}{3}L_2 + \frac{1}{3}L_3 + … $$ $$ \implies R = \frac{1}{3}(L_1 + L_2 + L_3 + …) $$ $$ \implies R = \frac{1}{3}(1) $$ $$ \implies R = \frac{1}{3} $$

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