Brilliant - Área de infinitos cuadrados
¿Puedes medir infinitas áreas?
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¿Qué fracción del área mayor será el área en rojo?
Hoy recibí por email este problema de Brilliant.
¿Cual crees que es la respuesta? ¿1/5?, ¿1/4?, ¿1/3?, ¿1/2?, ¿1?
Método 1
- Para resolverlo recordé un método que aprendí cuando postulaba a la universidad.
- Si el área total es 1, el área en rojo es R: $$ R = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4}\Bigr) + \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4}\Bigr)\Big(\frac{1}{4}\Bigr) + … $$ $$ \implies 4R = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4}\Bigr) + … $$ $$ \implies 4R = 1 + R $$ $$ \implies R = \frac{1}{3} $$
Método 2
- Podemos ver que en la L invertida del cuadrado más grande, el area en rojo es 1/3 de esa L invertida
- Lo mismo es el cuadrado siguiente. El área en rojo es 1/3 de la L invertida de ese cuadrado.
- Y así, sucesivamente, en cada siguiente cuadrado el área en rojo es 1/3 de la L invertida de ese cuadrado.
- Si el área total es 1, el área en rojo es R: $$ R = \frac{1}{3}L_1 + \frac{1}{3}L_2 + \frac{1}{3}L_3 + … $$ $$ \implies R = \frac{1}{3}(L_1 + L_2 + L_3 + …) $$ $$ \implies R = \frac{1}{3}(1) $$ $$ \implies R = \frac{1}{3} $$
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