Brilliant - Área de infinitos cuadrados

¿Puedes medir infinitas áreas?

2022-04-09 217 palabras 2 minutos

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Hoy recibí por email este problema de Brilliant.

¿Cual crees que es la respuesta? ¿1/5?, ¿1/4?, ¿1/3?, ¿1/2?, ¿1?

Método 1

Para resolverlo recordé un método que aprendí cuando postulaba a la universidad.
Si el área total es 1, el área en rojo es R: $R = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4}\Bigr) + \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4}\Bigr)\Big(\frac{1}{4}\Bigr) + …$ $\implies 4R = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4}\Bigr) + …$ $\implies 4R = 1 + R$ $\implies R = \frac{1}{3}$

Método 2

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Podemos ver que en la L invertida del cuadrado más grande, el area en rojo es 1/3 de esa L invertida
Lo mismo es el cuadrado siguiente. El área en rojo es 1/3 de la L invertida de ese cuadrado.
Y así, sucesivamente, en cada siguiente cuadrado el área en rojo es 1/3 de la L invertida de ese cuadrado.
Si el área total es 1, el área en rojo es R: $R = \frac{1}{3}L_1 + \frac{1}{3}L_2 + \frac{1}{3}L_3 + …$ $\implies R = \frac{1}{3}(L_1 + L_2 + L_3 + …)$ $\implies R = \frac{1}{3}(1)$ $\implies R = \frac{1}{3}$

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